√60x を100に最も近い整数にするにはxをいくつにしたらいいか。ただしxは自然数とする
ああ投稿 2023/9/16 01:46
中学 理系 東京都
金沢大学理工学域志望
高校入試の問題ですが…
回答と解説《考え方》を教えてくださると助かります
回答
たけなわ投稿 2023/9/16 03:28
北海道大学法学部
間違っていたら申し訳ございません。それと、厳密な数学的記述はできてないと思うので、それもご容赦ください。ていうか、高校入試でこのレベルが出るんですね。私には大学入試のレベルに感じましたが……。
《考え方》
mを自然数として、√(60x)が自然数となるときを、
√(60x)＝m･･･①
という等式で表すことにします。
√(60x)＝√(2^2 × 3 × 5 × x)
であるので、
x＝3 × 5＝15
のとき、mは最小値30をとります。というのも、√(60x)が自然数であるとき、√の中身（＝60x）は平方数になっていなければならないわけで、平方数は素因数が全て偶数ずつある数なので、一つずつしかない3と5という素因数をもう一つずつ掛けてあげれば、それが最小の平方数になるからです。
さて、60xは平方数にならなければならないというわけですが、以上で見たようにxは少なくとも3と5という素因数を一つずつ持っていることから、xは15の倍数であることが分かります。このことから、自然数kを用いて、
x＝15k･･･②
と表しましょう。そうすると、①は、
（√(60 × 15k)＝）√(900k)＝m
となります。これをさらに整理してやると、
30√k＝m･･･③
となります。今、問題の条件では、mが100に最も近い整数でなければならないことから、mは100にはなり得ないのだろうと予想できます。そこで、ひとまず次の不等式でkの値を考えてみます。すなわち、
30√k ＜ 100
です。両辺を30で割ると、
√k＜100/30＝3.33……
が得られます。③より、√kは自然数でなければならないのだ、ここでは√k＝3が得られます。すなわち、
k＝9･･･④
です。
次に、100に最も近い整数とは、100より大きい可能性もあるので、次の不等式でもkの値を考えてみます。すなわち、
30√k＞100
です。上と同様に、
√k＞3.33……
であり、√k＝4を得ます。すなわち、
k＝16･･･⑤
です。
④と⑤から、kの値である可能性のある数値が２つ得られたので、比べてみましょう。④、すなわち、k＝9のとき、これを③に代入すると、
m＝90
を得ます。⑤の場合も同様で、
m＝120
を得ます。より100に近い整数は、m＝90の方なので、k＝3が正解だとわかりました。したがって、②より、
x＝15 × 9＝135
となります。これが解答です。
