数Ⅱ　図形と方程式　線分の内分点の軌跡

数Ⅱ　図形と方程式　線分の内分点の軌跡

Naoki投稿 2022/6/19 20:22

undefined 理系 埼玉県

島根大学総合理工学部志望

点Qが直線y＝x+2上を動くとき、点A（1.6）と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求めよ　の答えが直線y=x+3になる理由がわからないです。
解き方を教えて下さい。

回答

たけなわ投稿 2022/6/19 20:44

北海道大学法学部

　実数qを用いて点Qの座標を表すと、点Q2が直線y=x+2上にあることから、Q(q, q+2)となります。これと点A(1, 6)を結ぶ直線を2:1に内分する点がPなので、内分点の公式により、その座標はP((2q+1)/3, (2q+10)/3)となります。このとき、点Pのx座標とy座標の関係を式で表すと、x=(2q+1)/3、y=(2q+10)/3=(2q+1)/3+9/3であることから、y=x+3となります。よって、求める点Pの軌跡は直線であり、その方程式はy=x+3であると求められます。記述の際は、このあとに「逆に、点Pが直線y=x+3にある時　とき…」といった感じで、求めた答えがちゃんと必要十分となるように逆からの検証を補充する必要があった気がしますが、そういった細かい記述の要素については流石に覚えていないので、ご自身で教科書等を参照してください。数式が見づらかったら申し訳ありません。