この数学の問題を教えて下さい🙇
ともくん投稿 2018/11/18 11:58
高1 文系 埼玉県
東京大学志望
問題を解いていたのですが、解説が何故そうなるか分からなかったので質問します。
(問題)平方数を8で割った時、余りとして得られる数を全て求めなさい。ただし、平方数とは自然数の2乗になっている数のことである。
(解説)自然数を8で割った余りは0,1,2,3,4,5,6,7のいずれかである。平方数を8で割った余りは、これらの2乗を8で割った余りに等しい。……………以下省略。
何故解説のように求められるのですか？お忙しい中申し訳ありませんがよろしくお願いします。
回答
りーーー投稿 2018/11/18 16:59
東北大学経済学部
自然数を8で割った余りは0〜7になるのは理解できると思います。
そこで、nを自然数とすると、
8で割った余りが
0→8n
1→8n 1
2→8n 2
3→8n 3
4→8n 4
5→8n 5
6→8n 6
7→8n 7
とすることですべての自然数を表すことができます。問題で聞いているのは平方数ということなので、それぞれを2乗すると、
0→64n^2=8×8n^2
1→64n^2 16n 1=8(8n^2 2n) 1
2→64n^2 32n 4=8(8n^2 4n) 4
3→64n^2 48n 9=8(8n^2 6n 1) 1
4→64n^2 64n 16=8(8n^2 8n 2)
5→64n^2 80n 25=8(8n^2 10n 3) 1
6→64n^2 96n 36=8(8n^2 12n 4) 4
7→64n^2 112n 49=8(8n^2 14n 6) 1
となります。
すべて(8n ○)^2という式になる以上、n^2とnの係数は8の倍数になるので、自然数部分である余りの2乗部分を8で割った時の余りが平方数の余りになります。
長くなってすみません。わからなかったらまた質問してください。
