標準、発展問題の解き方
はろはろ投稿 2022/10/2 23:19
undefined 理系 愛知県
北海道大学水産学部志望
数学の問題で基礎、標準（簡単めな）は解けるのですが、それ以上のレベルになると扱い方というか、問題を解くにあたって何を利用するのかの判断がまだ難しいです。
誘導がある問題でも、その誘導をどう使うのかが分からないことが多いです。
数学の問題を（特に標準〜国公立大学入試レベル）解けるようになるにはどよのうに勉強すればいいですか？
回答
riku投稿 2022/10/3 12:19
九州大学経済学部
普遍的なことだけを説明しても中々伝わりづらいと思うので、具体的に問題を1問出しながら説明させてください！
まず前提として、応用の問題が解けるようになるためには以下のことが必要になります。(結論です)
・基本的な解法がすぐに出てくるようにする
・問題を見た時、前の問題との関連性から考えていく
・誘導に乗っていくのに慣れるのにはとにかく演習量が必要
1つ目は恐らく大丈夫だと思います。また、3つ目もこれから2次試験向けの演習を重ねるうちに「あの時の誘導に似てるなー」というような感覚で段々できるようになってくるものです。つまりは慣れです。自分自身もこれを強く感じています。最初は中々誘導に乗れず辛いかもしれませんが、まずは量をこなしましょう。
おそらく問題は2つ目です。
これは分かりやすく言うと、「こうやってやっていって…あ、(1)(2)ここで使う？」という考え方ではなく、「(1)や(2)の問題の考え方を上手く使えないかな〜」「今までやったことのある基本問題の考え方が何か使えないかな〜、あ、文章のこの部分前にやったあの問題文と似てるな〜」と言ったような、初めから誘導や基本問題などのヒントの方から答えを探っていくように考えていくことです(長くてごめんなさい)。
実際に問題を見て考えていきましょう！以下は2015年の九大の問題です。
以下の問いに答えよ。
(1)nが正の偶数のとき、2^n-1は3の倍数であることを示せ。
(2)pを素数とし、kを0以上の整数とする。2^(p-1)-1=p^kを満たすp,kの組を全て求めよ。
(※^の後は指数を表します。2^n-1は2のn乗-1、2^(p-1)-1は2のp-1乗-1です)
(1)は割愛しますが、n=2l(lは自然数)とかと置いて二項定理で分解して3で括ったり、帰納法を使えばいいと思います。とにかく2^n-1が3の倍数だと分かればいいです。
問題は(2)ですね。先程言った通り、誘導を上手く使えないかという点からとにかく問題を見ましょう！
まず見るべき点は式の形が左辺と似ている所です。誘導が使えそうですよね。
誘導を上手く使うコツですが、「誘導の部分と問題文の該当部分の違いを上手く見分けること」です。今回であればnがp-1に変わっています。また、(1)でnは”正の偶数”でしたが、p-1は”素数-1″ですよね。
ここの違いは何かあるでしょうか？？
まず整数問題で素数が出たら、「2とそれ以外」という見方をするのは演習量をこなせば分かってきます。素数の中でも2だけ偶数で稀有、と認識できていればOKです。(ここは基本問題的な解法暗記の部分)
素数-1は、素数が2のときだけ奇数、素数が2以外のときは偶数になりますよね！
ですので、2か2じゃない素数かで分けます。2じゃない素数のときは(1)の条件と一致するので使えそうですよね。まずは使いましょう！
○pが2以外の素数のとき
(1)より左辺は3の倍数です。ということは右辺も3の倍数になります。p^k、つまり素数の累乗が3の倍数ということはpは3以外ありえないですよね。ここは素数ならではです。
ですのでp=3から左辺に代入するとk=1と決まります。
○pが2のとき
代入していくとk=0になりますね。
以上から(p,k)=(3,1),(2,0)となりました！
このように、「基本問題の解法はすぐに出ておくようにする」「誘導から常に考えていく(誘導と問題文の違いを認識し、見分けていく)」ことの重要性がわかったと思います。また、基本問題というのは、教科書や青チャートにある典型問題もそうですが、素数は2とそれ以外に分ける、といったような”応用問題でよく出てくるテクニック”もそうです！これは演習量を詰まないと中々インプットされないので、「演習量が大切」なのも再認識できるでしょう。
また、1問に時間をかけて思考していくこともとても大切です！最終的にその標準問題の解き方を覚えられると役には立ちますが、思考力というのは思考する時間を取らないと中々伸びません。1問に10分は考える時間を取りましょう！
めちゃくちゃ長くなって申し訳ないですが、参考になれば幸いです！！
