極限について

極限について

よひ投稿 2023/1/9 11:47

undefined 理系 宮城県

東北大学理学部志望

lim x→1 xの1/1-x乗が1/eになる流れを教えていただけると幸いです

回答

さしみポン酢投稿 2023/1/9 15:20

東京大学理科一類

(以下、^は累乗演算を表します。例えば、e^xはeのx乗、3^2は3の2乗で9です。)

1-x = -yを代入します。
lim(x→1){x^(1 / 1-x)}=lim(y→0){(1+y)^-(1/y)}
=lim(y→0){(1+y)^(1/y)^-1} = 1/ [lim(y→0){(1+y)^(1/y)}]
[]の中はeの定義よりeなので、答えは1/eとなります。

(eの定義:lim(x→0){(1+x)^1/x}=e)