間違っているとおもう。
ズンクス投稿 2024/5/11 05:25
高1 理系 北海道
京都大学工学部志望
友達に問題を出されました。自作だそうです。
「π^2が3の倍数でないことを示せ。」
条件足りなくないですか？友達が間違っている気がします。
私はやってみたんですが、なんか間違っている回答ができました。あまり証明とかやっていないので回答自体が変かもしれません。
三の倍数だと仮定する。
π^2=3kとおく。
k=π^2/3
よってkは三の倍数
k+1=π^2+3/3
よってk+1は三の倍数
矛盾が生じるのでk、k+1は三の倍数ではない。
このことよりπ^2は三の倍数でない。
わかる方。間違っているとわかる方教えてください。
回答
黒澤投稿 2024/5/15 03:10
京都大学工学部
答えさせていただきます。まず、ズンクスさんの解答で言えば、k=(π^2)/3が3の倍数になっている点がまず正しくないです。ここでは、π^2が3の倍数(3k)であるという仮定があるので、kは3の倍数かどうか不明な整数になるはずです。おそらく、「3の倍数」を、「なにかの数を3で割ってできる数」と誤解されているのだと思われます。3の倍数とは、「3で割り切れる整数」のことです。
これを踏まえ、以下に簡潔な解答を示させていただきます。その前に、ヒントを残しますので、先にヒントを読んで考えてみて、それから解答を確認してみて下さい。
ヒント:π=3.141592…は、そもそも二乗して整数にならないのではないか？
以下解答です。
まず、3<π<3.15により、 9<π^2<3.15^2=9.9225<10である。 従って、π^2は9と10の間にあるから、整数でない。よって、π^2は3の倍数でない。(証明終) 厳密には、π<3.15を示す必要があるのですが、高校一年生の範囲での証明は難しく、今回は省略させていただきます。π>3については、半径1の円に内接する正六角形の周の長さと円周を比べていただければほとんど自明です。
おそらく、そのお友達の出題の背景には、かつてゆとり教育で「円周率を3として扱う」場面があったことへの皮肉があると思われます。もしそうであれば、π^2は9で、当然3の倍数になります。
話がそれましたが、ある数が整数でないことを示すには、その数に近そうな整数との大小を比較してあげるのが非常に効果的です。
