微分の応用

微分の応用

はる投稿 2022/8/6 14:02

undefined 理系 大阪府

大阪大学工学部志望

点Pがx軸上を運動している。時間を測りながら、Pの位置xを観測すると位置は時間の関数としてx=x（t）とかける。ところで逆に位置xを基にそこにくるときの時間を観測すると、時間は位置の関数としてt=t(x)とかける。このようにtとxを入れ替えて考える。そこでtをxで微分した式として加速度の式を書き直せば、d^2x/dt^2={ }d^2t/dx^2とかける。

{ }に入る式を答える問題です。高校の先生から出されたチャレンジ問題です。時間をかけましたが、わからなかったので教えてくださるとありがたいです。

回答

Atom投稿 2022/8/6 16:30

東京大学理科一類

X(t)に関して
速度dx/dt=vとする。…①
すると、加速度d^2x/dt^2=d/dt•(dx/dt)=dv/dt …②
となる。
次にt(x)に関して
dt/dx=1/(dx/dt)=(①を用いて)=1/v…③であり、
d^2t/dx^2=d/dx•(dt/dx)=(③を用いて)=d/dx•(1/v)
(これは合成関数の微分に相当するので)
=-1/v^2•dv/dx=(vの変数としてのxはかなり扱いづらいので、tに変数変換して)=-1/v^2•dv/dt•dt/dx
となる。②、③を用いて変形すると、
d^2x/dt^2=-v^3•d^2t/dx^2
となる。あとは①を代入して、答えは
{}=-(dx/dt)^3となります。

あってるかな、、？なんにせよこうゆうのにチャレンジしてみる姿勢は素晴らしいと思います。